The Poisson Process1 (stochastic process) 포아송 과정.

counting process인 {N(t), t>=0} 이 rate 에 대하여

1) N(0) = 0

2) The process has independent increment

3) P{N(t+s) - N(s) = n} = , n= 0, 1, ...

을 만족하면 counting process {N(t), t>=0}는 포아송 과정이라고 정의합니다.

여기서 2)의 independent increment란 독립된 시간 구간 내에서 일어나는 사건들의 횟수는 독립이라는 뜻입니다.

또 다른 포아송 과정의 정의로는

counting process인 {N(t), t>=0} 이 rate 에 대하여

1) N(0) = 0

2) The process has stationary and independent increments.

3) P{N(h) = 1} = h + o(h)

4) P{N(h) >=2} = o(h)

을 만족하면 counting process {N(t), t>=0}는 포아송 과정이라고 정의합니다.

여기서 o(h)는 그냥 나머지 수식들 이라고 생각하시는 게 편할 듯합니다. 너무 적은 수치라서 있으나 마나 한 녀석들 정도?

 

사실 포아송 과정의 정의로서 첫 번째 수식과 두 번째 수식은 같은 의미를 가집니다.

그 증명 과정은 theorem 2.1.1에 잘 나와 있으니 참고 바랍니다.

그럼 위와 관련된 예제를 풀어 봅시다.

책의 연습문제 2.5번입니다.

 

2.5. Suppose that { } and { } are independent Poisson processes with rates and . Show that { } is a Poisson process with rate + . Also, show that the probability that the first event of the combined process comes from { } is /( + ), independently of the time of the event.

첫 번째로 { }가 rate + 를 가지는 포아송 과정이다. 를 증명해 봅시다. 먼저 포아송 과정의 정의는 다음과 같습니다.

1) N(0) = 0

2) The process has independent increment

3) P{N(t+s) - N(s) = n} = , n= 0, 1, ...

그럼

1) { } = 0

2) The process has independent increment

3) P{ (t+s) + (t+2) - (s) - (s) = n} = 　,n= 0, 1, ...

을 만족하는지 보이면 포아송과정을 따른다는 것을 알 수 있을 것입니다.

그럼 목표를 세웠으니 과정을 살펴보도록 합시다.

1) { } = 0 가 만족하는 가?

문제에서 { } and { } with rates and 가 포아송 과정을 따른다고 했으므로 { (0), t>=0} = 0 , { (0), t>=0} = 0을 만족 한다는 것을 알 수 있습니다.

그러므로 { } = 0+0 = 0

2) The process has independent increment을 만족하는가?

독립적인 증분의 합은 독립적인 증분으로 이루어진다.

3) P{ (t+s) + (t+2) - (s) - (s) = n} = 　,n= 0, 1, ...

P{ = n} =

{ } { = n-k}

=

=

= 가 나옵니다.

따라서 세 가지 조건을 만족하므로 { }가 rate + 를 가지는 포아송 과정을 따른다는 것을 보일 수 있습니다.

그리고 두 번째로 show that the probability that the first event of the combined process comes from { } is /( + )에 대해서 연구해 보겠습니다.

시간 t에 대하여 t 시점 이후에 사건이 일어났을 때, t시점부터 type 1 사건이 일어난 시간을 , t시점부터 type 2 사건이 일어난 시간을 라고 할 때, 지수함수의 무기억성에 의하여 ~ exp( ) , ~ exp( ) 이며 서로 독립입니다. 그렇다면 문제에서 { } 으로부터의 사건이 먼저 일어났으므로 P{k1 < k2} = = = = 를 만족하게 됩니다.