에 대하여
1) N(0) = 0
2) The process has independent increment
3) P{N(t+s) - N(s) = n} = 
, n= 0, 1, ...
, n= 0, 1, ...
을 만족하면 counting process {N(t), t>=0}는 포아송 과정이라고 정의합니다.
여기서 2)의 independent increment란 독립된 시간 구간 내에서 일어나는 사건들의 횟수는 독립이라는 뜻입니다.
또 다른 포아송 과정의 정의로는
counting process인 {N(t), t>=0} 이 rate 
에 대하여
에 대하여
1) N(0) = 0
2) The process has stationary and independent increments.
3) P{N(h) = 1} = 
h + o(h)
h + o(h)
4) P{N(h) >=2} = o(h)
을 만족하면 counting process {N(t), t>=0}는 포아송 과정이라고 정의합니다.
여기서 o(h)는 그냥 나머지 수식들 이라고 생각하시는 게 편할 듯합니다. 너무 적은 수치라서 있으나 마나 한 녀석들 정도?
사실 포아송 과정의 정의로서 첫 번째 수식과 두 번째 수식은 같은 의미를 가집니다.
그 증명 과정은 theorem 2.1.1에 잘 나와 있으니 참고 바랍니다.
그럼 위와 관련된 예제를 풀어 봅시다.
책의 연습문제 2.5번입니다.
2.5. Suppose that { 
} and { 
} are independent Poisson processes with rates 
and 
. Show that { 
} is a Poisson process with rate 
+ 
. Also, show that the probability that the first event of the combined process comes from { 
} is 
/( 
+ 
), independently of the time of the event.
} and { } are independent Poisson processes with rates and . Show that { } is a Poisson process with rate + . Also, show that the probability that the first event of the combined process comes from { } is /( + ), independently of the time of the event.
첫 번째로 { 
}가 rate 
+ 
를 가지는 포아송 과정이다. 를 증명해 봅시다. 먼저 포아송 과정의 정의는 다음과 같습니다.
}가 rate + 를 가지는 포아송 과정이다. 를 증명해 봅시다. 먼저 포아송 과정의 정의는 다음과 같습니다.
1) N(0) = 0
2) The process has independent increment
3) P{N(t+s) - N(s) = n} = 
, n= 0, 1, ...
, n= 0, 1, ...
그럼
1) { 
} = 0
} = 0
2) The process has independent increment
3) P{ 
(t+s) + 
(t+2) - 
(s) - 
(s) = n} = 
,n= 0, 1, ...
(t+s) + (t+2) - (s) - (s) = n} = ,n= 0, 1, ...
을 만족하는지 보이면 포아송과정을 따른다는 것을 알 수 있을 것입니다.
그럼 목표를 세웠으니 과정을 살펴보도록 합시다.
1) { 
} = 0 가 만족하는 가?
} = 0 가 만족하는 가?
문제에서 { 
} and { 
} with rates 
and 
가 포아송 과정을 따른다고 했으므로 { 
(0), t>=0} = 0 , { 
(0), t>=0} = 0을 만족 한다는 것을 알 수 있습니다.
} and { } with rates and 가 포아송 과정을 따른다고 했으므로 { (0), t>=0} = 0 , { (0), t>=0} = 0을 만족 한다는 것을 알 수 있습니다.
그러므로 { 
} = 0+0 = 0
} = 0+0 = 0
2) The process has independent increment을 만족하는가?
독립적인 증분의 합은 독립적인 증분으로 이루어진다.
3) P{ 
(t+s) + 
(t+2) - 
(s) - 
(s) = n} = 
,n= 0, 1, ...
(t+s) + (t+2) - (s) - (s) = n} = ,n= 0, 1, ...
P{ 
= n} =
= n} = 
{ 
} 
{ 
= n-k}
= 
= 
= 
가 나옵니다.
가 나옵니다.
따라서 세 가지 조건을 만족하므로 { 
}가 rate 
+ 
를 가지는 포아송 과정을 따른다는 것을 보일 수 있습니다.
}가 rate + 를 가지는 포아송 과정을 따른다는 것을 보일 수 있습니다.
그리고 두 번째로 show that the probability that the first event of the combined process comes from { 
} is 
/( 
+ 
)에 대해서 연구해 보겠습니다.
} is /( + )에 대해서 연구해 보겠습니다.
시간 t에 대하여 t 시점 이후에 사건이 일어났을 때, t시점부터 type 1 사건이 일어난 시간을 
, t시점부터 type 2 사건이 일어난 시간을 
라고 할 때, 지수함수의 무기억성에 의하여 
~ exp( 
) , 
~ exp( 
) 이며 서로 독립입니다. 그렇다면 문제에서 { 
} 으로부터의 사건이 먼저 일어났으므로 P{k1 < k2} = 
= 
= 
= 
를 만족하게 됩니다.
, t시점부터 type 2 사건이 일어난 시간을 라고 할 때, 지수함수의 무기억성에 의하여 ~ exp( ) , ~ exp( ) 이며 서로 독립입니다. 그렇다면 문제에서 { } 으로부터의 사건이 먼저 일어났으므로 P{k1 < k2} = = = = 를 만족하게 됩니다.